基于拓扑反变的路面裂纹识别新方法

    为了做好高速公路的养护工作，必须定期对高速公路进行检查，制定相应的维护策略，其中重要的一项工作就是路面裂纹的检测。传统的路面裂纹检测大多基于人的视觉来检测，这样的缺点在于速度慢、费时、费力、危险，而且影响正常的交通。利用计算机的高速处理能力和图像处理技术可以克服以上缺点，而且具有成本低等优点。

    文献[1]考虑了图像的空间信息，减少了图像噪声，同时引入聚类数目自动获取与聚类中心初始化的算法，一定程度上减少了算法的迭代次数。文献[2-5]提出了基于不变距特征的沥青路面裂纹图像识别。该算法将路面裂纹图像等分为64×64像素子块图像，用灰度方差值表征子块图像。文中对于利用分块图像方差作为判断该块是否含有裂纹是不恰当的，方差反映了数据的离散程度。文献^[6]基于数学形态学的原理，通过4种结构元素的中值滤波算法增强路面灰度图像，并利用形态学梯度算子、闭合算子进行边缘检测和裂缝空隙弥合，能够有效地检测出裂缝边缘，并保持边缘的平滑性。文献[7]提出了一种影像分块裂缝检测算法，通过块内均值和方差来判断某一块是否为裂纹块，然后根据这些裂纹块构建了路面裂纹破损指数因子，这些指数因子用于衡量路面的表面破损程度，该算法主要用于评价路面裂纹的破损程度。文献[8]和[9]提出路面裂纹影像实时阈值化算法，通过不断改变样本空间来建立一个最优的关于路面影像均值和方差的路面影像阈值化方程，通过该方程可以快速计算出分割该影像的阈值，从而达到实时处理的目的，该算法对不同路面类型要重新建立阈值化方程。文献[10]提出基于直方图投影算法，同时应用形态学的方法消除分割后的噪声。

    以上方法主要利用裂纹的单一属性来对路面裂纹进行识别，且所用的方法都是常用的图像处理方法。在文献[11]和[12]中，提出用于复杂系统多源信息特征提取及综合表示的信息空间变换方法，构建拓扑反变关系，实现复杂系统的特征提取。本文将拓扑反变理论应用到裂纹图像多个本征属性识别当中，构建裂纹数据的原始空间，运用推导出的拓扑反变关系进行原始空间到目标空间的变换，得出裂纹检测的结果。

    假定复杂裂纹图像数据的原始信息空间为X，根据路面图像的分块矩阵灰度的均值、方差、相关度三个特征值，将复杂裂纹图像分为N类，每类特征中有nⁱ(i=1，2，...N)子特征。

    假定各类特征间是不相关的，将特征全体表示为， 为复杂系统状态随时间变化的相应时刻原始信息的第i类特征子空间。由于各类特征间不相关，之间线性无关，则一定存在一组子基，使得。每类子特征，有

         （1）

    其中，为特征子空间的子特征。根据上述，复杂系统空间可以划分为多个信息子空间。由上述可知，是X的一个子集族，且满足：

    （1） ；

    （2）若，且为两类不同特征，则；

    （3），nⁱ为子特征数目，则：∈δ，。

    由拓扑空间定义，构成拓扑空间。又fréchet空间定义，知X为fréchet空间，复杂系统原始信息空间X为赋范线性空间。

    根据拓扑学的可数基定义，的每个子空间都是中的一个开集，且，则是X的一个覆盖，又因为是可数族，则是X的一个可数基。则这个拓扑空间满足第二可数性公理，满足第二可数性公理的空间都是可分空间。可分性是拓扑不变性，原始信息空间经过拓扑反变得到的空间，称为目标信息空间，表示为，应仍为可分性空间，并且目标信息空间与原始信息空间具有相同的性质和结构，则Y为：

                      （2）

    其中， 为目标信息子空间。把各子空间通过拓扑反变子函数解耦映射到子空间（若解耦映射变换后的维数小于N，必须先将基扩展维数至N，在不引起混淆情况下，扩展维数后仍记为）。

    设是 的Hamel基，对于任意的可以用中有限个元素的线性组合来唯一表示：。复杂系统的目标信息空间Y表示为：

            （3）

    拓扑反变子函数：，即：

           （4）

    令拓扑反变函数：                                                   （5）

    为使得目标信息空间稳定，建立连续的拟线性映射f，由新闭图像定理可知f是连续映射。则空间映射为：

                 （6）

    X、Y是两个拓扑空间，由映射F知， 中每一个开集的原像是X中的一个开集，则由定义可知，F是从X到Y的一个连续映射。由上述分析知，拓扑空间亦为完备的、分离的准范空间，即fréchet空间。

    至此，建立了复杂系统的原始信息空间和目标信息空间之间的映射关系，下面根据拓扑反变思想进行路面裂纹特征的提取。

    由建立的空间关系可知，原始信息空间X和目标信息空间Y均是连续的特征空间，映射F亦连续，因此可以对此特征空间进行变换而得到裂纹图像信息。

    路面裂纹具有非线性，且受到光照影响大，所以本文根据路面图像的分块矩阵灰度的均值、方差、相关度三个特征值来构建原始空间。构建以灰度属性、裂纹边缘灰度变化率属性、裂纹形状属性三个属性的目标空间，推导拓扑反变关系，然后根据原始空间到目标空间的拓扑反变关系和拓扑不变特性，即可使裂纹信息准确、快速的提取。

    考虑到数据集X到裂纹数据集Y的拓扑不变特性，根据路面图像分块矩阵灰度的三个特征值，分别代表分块矩阵的均值、方差、相关度。这三个特征值构成裂纹图像的原始空间，路面裂纹空间，可分为

            （7）

    其中，为目标信息空间的子空间，即为裂纹的灰度属性、形状属性、灰度变化率属性。则一定存在{b_i}，使得。

    为了使得到的裂纹图像空间准确、完备的反映原始空间的裂纹特征，则要证明原始信息空间和裂纹信息空间的同胚映射，为了使裂纹子空间中以一种耦合特征属性作为单一变量的信息集合，则原始子空间按照保留原始信息空间的裂纹特征原则映射到目标空间，建立解耦映射：

           （8）

    则存在是裂纹信息子空间的Hamel基，m为第i个裂纹信息子空间的维数，所以可以用中有限个元素的组合来表示：

                  （9）

    由（9）式将子空间映射到裂纹信息子空间的一族映射表示为：

                     （10）

    由（9）-（11）式得目标信息空间为：

      （11）

    其中：即为是一族映射。

    由（8）-（12）式则可得到裂纹拓扑空间Y为：

    （12）

    为了进一步推到拓扑反变关系Y给出定理 1

    定理 1  给定数据集的拓扑结构W，若

则：

（13）

    它的最大值为矩阵的前d个最大特征值的和的两倍。其中I为N*N单位矩阵， 为数据集X的Laplacian矩阵。

    Y的推导过程如下：

  （14）

    故可对Y进行简化，即：

  （15）

    其中：

    由于，若令

，那么：

                                （17）

    其中为对角矩阵，对角线上点：

               （18）

    则：

        （19）

    在不引起误解的情形下，仍记为 。故：

   （20）

    至此，我们得到了路面裂纹空间拓扑反变的结果。

    实验硬件平台：奔四2.0 GHz处理器，256 MB内存的工控机。软件开发环境：Visual C++ 6.0。实验所有原始图像均为256级灰度图像的沥青路面裂纹图像，采集于正常行车中的唐津高速公路，图片大小为400×400个像素，且每个像素的长和宽均为1mm。

                        

    本文对图（a）所示的原始图像进行了如参考文献[2-5]的基于不变距特征的沥青路面裂纹处理算法处理，处理结果如图（b）所示，此方法能很好的滤除噪声的干扰，且处理时间较快，但对裂纹的边缘保护性差，裂纹图像不具有连续性。图（c）基于形态学的路面裂纹图像处理算法，在边缘的连续性及向同性方面处理的比较好，但对点状假裂纹的识别率不高。本文所采用的基于拓扑反变的路面裂纹处理算法结果如图（d）所示，能够很好保护路面裂纹边缘，且根据路面裂纹的多个本征属性能确保裂纹的连续性，同时很好的抑制了噪声。

	形态学算法	文献[2-5]算法	本文算法
点状噪声个数	9	8	3
环状个数	10	12	5

    由表1的比较可看出，本文在点状噪声和环状噪声的抑制方面具有明显效果。

    以下是对三种算法抑制噪声效果的比较，如表2所示。

	形态学算法	文献[2-5]算法	本文算法
处理时间/ms	50	86	12

    由表2的比较可看出，采用本文算法耗时最少。

    由文中的多个算法的试验结果比较表明，本文根据路面裂纹的多个本征属性，将拓扑反变理论应用到裂纹的本征属性识别中，构建复杂数据集的空间度量，组成拓扑空间，推导拓扑反变关系，利用路面裂纹原始空间到目标空间的拓扑反变，实现裂纹数据集的特征表示，为路面裂纹的识别奠定基础。该算法在抑制噪声、裂纹识别能力、处理时间上具有优越性。

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    收稿日期：12 月 10 日   修改日期：1 月 18 日

    作者简介：王超委（1984-），男，陕西人，硕士研究生，研究方向：数字图像处理。